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人教A版高中数学必修三试卷湖北省部分重点中学-上学期高二期中考试.docx

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高中数学学*材料
唐玲出品

湖北省部分重点中学 2015-2016 上学期高二期中考试

数学试题(文科)

命题人:武汉中学 张怡

审题人:武汉市 49 中 唐宗保

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的。)
1.下列命题正确的是( ) A. 若一条直线*行于两个相交*面,则这条直线与这两个*面的交线 *行 B.若一个*面内有三个点到另一个*面的距离相等,则这两个*面 *行 C.若两条直线和同一个*面所成的角相等,则这两条直线*行 D.若两个*面都垂直于第三个*面,则这两个*面*行 2.如果执行如图所示的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1, a2,…,an,输出 A,B,则( ) A.A+B 为 a1,a2,…,an 的和
B. 为 a1,a2,…,an 的算术*均数

C.A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最小的数和最大的数
3.*行于直线 2x ? y ?1 ? 0 且与圆 x2 ? y2 ? 5 相切的直线方程是

()

A. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0

B. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0

C. 2x ? y ? 5 ? 0或 2x ? y ? 5 ? 0

D. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0

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4.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( )

A.

B.

C.

D.与 P 点位置有关

5.在同一坐标系下,直线 ax+by=ab 和圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(ab≠0,r>0)的图象可能 是( )

A.

B.

C.

D.

6. 在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一

周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.2

7. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是 ()

A.2

B.

C.

D.3

8.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭, 得到如下统计数据表:

收入 x (万元) 8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出 y (万元) 6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程 y? ? b?x ? a? ,其中 b? ? 0.76, a? ? y ? b?x ,

据此估计,该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为( )

A.11.8 万元

B.11.4 万元

C.12.0 万元

D.12.2 万元

9. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更

相减损术”,执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的

a=( A.0

) B.2

C.4

D.14

10. 如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1, 0) .且点
D

y C

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F

x

A

OB

?x ?1, x ? 0

C

与点

D

在函数

f

(x)

?

? ????

1 2

x

? 1,

x

?

的图像上.若在矩形
0

ABCD 内随机取一点,则该

点取自阴影部分的概率等于( )

A. 1 B. 1 C. 3 D. 1

6

4

8

2

11. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动点,且

A1F∥*面 D1AE,则 A1F 与*面 BCC1B1 所成角的正切值构成的集合是( )

A.{t|

}

B.{t| ≤t≤2}

C.{t|2

}

D.{t|2

}

12. 已知△ ABC 的三边分别为 AB=5,BC=4,AC=3,M 是 AB 边上一点,P 是*面 ABC 外

一点,下列四个命题正确的是( )

①若 PA⊥*面 ABC,则三棱锥 P﹣ABC 的四个面都是直角三角形;

②若 PM⊥*面 ABC,M 是 AB 边上中点,则有 PA=PB=PC;

③若 PC=5,PC⊥*面 ABC,则△ PCM 面积的最小值为 ;

④若 PC=5,P 在*面 ABC 上的射影是△ ABC 内切圆的圆心,则点 P 到*面 ABC 是的距离 为.

其中正确命题的序号是

A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.与直线 3x+4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为



14. 已知直线 kx﹣y+1=0 与圆 C:x2+y2=4 相交于 A,B 两点,若点 M 在圆 C 上,且有

(O 为坐标原点),则实数 k=



15. 在棱锥 P﹣ABC 中,侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,Q 为底面△ ABC 内一点,若点 Q 到

三个侧面的距离分别为 3、4、5,则以线段 PQ 为直径的球的表面积为



16. 已知 AC、BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, ),则四边形

ABCD 的面积的最大值为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分 10 分)空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些

物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和

福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m3)

为 0~50 时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,

空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级

别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为

四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,

空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质

量状况属于严重污染.2015 年 8 月某日某省 x 个监测点数据统计如下:

空气污染指数 [0,50](50,100](100,150][(150,200] (单位:μg/m3)

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监测点个数 15 40

y

10

(Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图;

(Ⅱ)在空气污染指数分别为 50~100 和 150~200 的监测点中,用分层抽样的方法抽取 5

个监测点,从中任意选取 2 个监测点,事件 A“两个都为良”发生的概率是多少?

18.(本题满分 12 分)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是 BC 中点,AA1=AB=a. (Ⅰ)求证:AD⊥B1D; (Ⅱ)求证:A1C∥*面 AB1D; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣AB1D 的体积.
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19.(本题满分 12 分)PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米 的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB3095﹣2012,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克 /立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区 2015 年全年每天的 PM2.5 监测值数据中随机 地抽取 12 天的数据作为样本,监测值频数如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶): (I)求空气质量为超标的数据的*均数与方差; (II)从空气质量为二级的数据中任取 2 个,求这 2 个数据的和小于 100 的概率; (III)以这 12 天的 PM2.5 日均值来估计 2015 年的空气质量情况,估计 2012 年(366 天) 大约有多少天的空气质量达到一级或二级.
20.(本题满分 12 分)已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0),边 AB 所在直线的方程 为 x﹣3y﹣6=0,点(﹣1,1)在边 AD 所在的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l:(1﹣2k)x+(1+k)y﹣5+4k=0(k∈R),求证:直线 l 与矩形 ABCD 的外 接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线 l 的方程.
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21.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正 方形,PD=DC,F 是 PB 的中点. (1)求证:DF⊥AP; (2)在线段 AD 上是否存在点 G,使 GF⊥*面 PBC?若存在,说明点 G 的位置,并证明 你的结论;若不存在,请说明理由.

22.(本题满分 12 分)已知圆 O:x2+y2=4 内一点 P(0,1),过点 P 的直线 l 交圆 O 于 A,

B 两点,且满足

(λ 为参数).

(1)若

,求直线 l 的方程;

(2)若 λ=2,求直线 l 的方程;

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湖北省部分重点中学 2015-2016 学年度上学期高二期中考试
文科数学参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

A C D C D C D A B B DB

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13. 3x﹣4y+5=0

14. 0

15. 50π

16. 5

三、解答题(共 70 分)

17 解:(Ⅰ)∵



∵15+40+y+10=100,∴y=35…(2 分)







频率分布直方图如图所示…(5 分) (Ⅱ)在空气污染指数为 50~100 和 150~200 的监测点中分别抽取 4 个和 1 个监测点. 设空气污染指数为 50~100 的 4 个监测点分别记为 a,b,c,d; 空气污染指数为 150~200 的 1 个监测点记为 E. 从中任取 2 个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d), (b,E),(c,d),(c,E),(d,E)共 10 种,…(7 分) 其中事件 A“两个都为良”包含的 基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d), (c,d)共 6 种,…(9 分)

所以事件 A“两个都为良”发生的概率是

.…(10 分)

18(Ⅰ)证明:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 正三棱柱,D 是 BC 中点 ∴BB1⊥AD,BC⊥AD
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∵BB1∩BC=B, ∴AD⊥面 BB1D, ∴AD⊥B1D (Ⅱ)证明:取 C1B1 的中点 E,连接 A1E,ED, 则四边形 B1DCE 为*行四边形, 于是有 B1D∥EC,又 A1E∥AD,B1D∩AD=D,A1E∩EC=E, ∴*面 A1EC∥*面 AB1D,A1C?*面 A1EC, ∴A1C∥*面 AB1D.

(Ⅲ)解:由图知

,AA1=AB=a



= S△ADCBB1=



19 解:(I)空气质量为超标的数据有四个:77,79,84,88

*均数为

(2 分)

方差为
(4 分) (II)空气质量为二级的数据有五个:47,50,53,57,68 任取两个有十种可能结果:{47,50},{47,53},{47,57},{47,68},{50,53}, {50,57},{50,68},{53,57},{53,68},{57,68}. 两个数据和小于 100 的结果有一种:{47,50}.
记“两个数据和小于 100”为事件 A,则

即从空气质量为二级的数据中任取 2 个,这 2 个数据和小于 100 的概率为 (8 分)

(III)空气质量为一级或二级的数据共 8 个,

所以空气质量为一级或二级的频率为

(10 分)

,所以 2015 年的 366 天中空气质量达到一级或二级的天数估计为 244 天.(12
分) 20 解:(1)由 lAB:x﹣3y﹣6=0 且 AD⊥AB,点(﹣1,1)在边 AD 所在的直线上 ∴AD 所在直线的方程是:y﹣1=﹣3(x+1)即 3x+y+2=0



得 A(0,﹣2)…(3 分)

∴|AP|=

=2 ,

∴矩形 ABCD 的外接圆的方程是:(x﹣2)2+y2=8…(6 分)

(2)直线 l 的方程可化为:k(﹣2x+y+4)+x+y﹣5=0l 可看作是过直线﹣2x+y+4=0 和 x+y

﹣5=0 的交点(3,2)的直线系,即 l 恒过定点 Q(3,2) 由于(3﹣2)2+22=5<8 知点在圆内,

∴直线与圆恒有交点,

设 PQ 与 l 的夹角为 θ,则 d=|PQ|sinθ= sinθ,

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当 θ=90°时,d 最大,|MN|最短,
此时 l 的斜率为 PQ 斜率的负倒数﹣ ,∴l:y﹣2=﹣ (x﹣3),即 x+2y﹣7=0
21.证明:(1)取 AB 中点 E,连接 EF,DE ∵E,F 分别是 AB,PB 的中点, ∴EF∥AP, ∴AP 和 DF 所成的角即为 EF 和 DF 所成的角,即∠DFE 或 其补角; 由已知四边形 ABCD 是正方形, 假设 PD=DC=a, 则有

∴cos∠DFE=

=0,

∴DF⊥EF,∴DF⊥AP. (2)解:G 是 AD 的中点时,GF⊥*面 PCB. 证明如下:取 PC 中点 H,连接 DH,HF. ∵PD=DC,∴DH⊥PC. 又∵BC⊥*面 PDC,∴DH⊥BC, ∵DH⊥PC,DH⊥BC,PC∩BC=C,PC,BC?*面 PBC ∴DH⊥*面 PCB.



,∴HF GD,

∴四边形 DGFH 为*行四边形,DH∥GF, ∴GF⊥*面 PCB. 22.解:(I)当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=4,不满足条件. 故可设所求直线 l 的方程为 y=kx+1,即 kx﹣y+1=0.

由弦长|AB|= ,圆 O:x2+y2=4 的半径等于 2,可得弦心距 d=

=,

即圆心(0,0)到 kx﹣y+1=0 的距离等于 ,即

= ,求得 k=±1,

故要求的直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=﹣x+1.

(II)当直线 l 的斜率不存在时,



,不满足条件,故可设所求直线 l 的

方程为 y=kx+1 代入圆的方程,整理得(1+k2)x2+2kx﹣3=0,(*)
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 为方程(*)的两根,

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可得 x1=﹣2x2 ,则有



(1)2÷(2)得 所以直线 l 的方程为

,解得





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