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2012年北京市各区一模试题分类解析(数学文)(16)空间几何体

发布时间:

十六、空间几何体(必修二、选修 2-1)

4.(2012 高考模拟文科)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),

可得这个几何体的体积是( B )

A. 4000 cm3 3

B. 8000 cm3 3

C. 2000cm3

D. 4000cm3

20
20 正视图

20 侧视图

10
10 20 俯视图

9.(2012 东城一模文科)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是 .

答案: 4 3

1

1

2
主视图

2
左视图

2

俯视图

4.(2012 丰台一模文科)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积是( B )

A .20-2π

B . 20 ? 2 ? 3

C . 40 ? 2 ? 3

D . 40 ? 4 ? 3

5
22 正视图

22 侧视图

3.(2012 石景山一模文科)设 m, n 是两条不同的直线,? , ? ,? 是三个不同的

*面,下列命题正确的是( D )

俯视图

A. 若m // n, m //?,则n //? B. 若? ? ? , ? ? ? ,则? // ?

C. 若m //?, n //?,则m // n D. 若m ? ?, n //?,则m ? n

7.(2012 石景山一模文科)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A )

A. 8 ? 4 3 B. 8 ? 4 2 C.8 ? 2 3 D. 32

3

3

3

3

3. (2012 高考仿真文科)设 m, n 是两条不同的直线,? , ? ,? 是三个不同的*

面,则下列命题正确的是( B )

A. 若 m ? n, n ? ? ,则 m ? ?

B. 若 m ? ? , n // m ,则 n ? ?

C. 若 m // ? , n // ? ,则 m // n

D. 若? ? ? , ? ? ? ,则? // ?

12. (2012 高考仿真文科)如图是一个正三棱柱的三视图,若三棱柱的体积是 8 3 ,则 a ? ____________________.

答案: 2

a

正视图

23 侧视图

俯视图
5. (2012 朝阳一模文科)关于两条不同的直线 m , n 与两个不同的*面? , ? ,下列命题正
确的是 ( C )
A. m //?, n // ? 且? // ? ,则 m // n B. m ? ?, n ? ? 且? ? ? ,则 m // n
C. m ? ?, n // ? 且? // ? ,则 m ? n D. m //?, n ? ? 且? ? ? ,则 m // n
10. (2012 朝阳一模文科)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

3

3

2

1

正视图

2

1

俯视图

1 侧视图

(第 10 题图)
答案: 3 2
6. (2012东城示范校二模文)给出下列命题:

① 如果不同直线m、n都*行于*面? ,则m、n一定不相交;

② 如果不同直线m、n都垂直于*面? ,则m、n一定*行; ③ 如果*面?、? 互相*行,若 直线m ? ?,直线n ? ? ,则m//n.

④ 如果*面?、? 互相垂直,且直线m、n也互相垂直,若 m ? ? 则 n ? ? .

则真命题的个数是( C )

A.3

B.2

C.1

D.0

11. (2012 东城示范校二模文)已知某几何体的三视图如图所示,

则该几何体的体积为

.

答案: 2 3

3.(2012 房山一模文科)一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积为 ( A)

A. 2 3

B. 2 C.4 D. 5

8.(2012 海淀一模文科)在棱长为 1 的正方体 ABCD- A' B 'C ' D'中,若点 P 是棱上一点,

则满足 PA + PC ' = 2 的点 P 的个数为( B )

A.4

B. 6

C. 8

D. 12

A B

D C

A' B'

D' C'

12.(2012 海淀一模文科)已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所

示,那么此三棱锥的体积是

,左视图的面积是

.

答案: 2

2

32

3.(2012 门头沟一模文科)己知某几何体的三视图如右图所示,

2

则其体积为( A )

A.4

B. 8

C. 4 3

D. 2 3

2

2

2

2 俯视 图

主视图

左视图

1

1

俯视图
13.(2012 密云一模文科)已知? , ? 是*面, m , n 是直线,给出下列命题

①若 m ? ? , m ? ? ,则? ? ? .
②若 m ? ? , n ? ? , m ? , n ? ,则? ? . ③如果 m ? ?, n ? ?, m 、n 是异面直线,那么 n与? 相交.

④若? ? ? m , n ∥ m ,且 n ? ? , n ? ? ,则 n ∥? 且 n ∥ ? .

其中正确命题的有

.(填命题序号) ①④

答案:①④

4. (2012 师大附文科)若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是( C )

A. 2 3

B. 4 3

C. 2 D. 6

6. (2012 师大附文科)下列命题中( B ) ①三点确定一个*面; ②若一条直线垂直于*面内的无数条直线,则该直线与*面垂直; ③同时垂直于一条直线的两条直线*行;
④底面边长为 2,侧棱长为 5 的正四棱锥的表面积为 12。
正确的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5.(2012 西城一模文科)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2cm ,其三视图中的俯视
图如图所示,则其左视图的面积是( A )
A. 4 3 cm2 B. 2 3 cm2 C. 8 cm2 D. 4 cm2

20.(2012 高考模拟文科)(本小题满分 12 分) 如图,已知直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的 底面是直角梯形, AB ? BC , AB // CD , E , F 分别是棱 BC , B1C1 上的动点,且 EF // CC1 , CD ? DD1 ? 1, AB ? 2, BC ? 3 . (Ⅰ)证明:无论点 E 怎样运动,四边形 EFD1D 都
为矩形;
第 20 题图

(Ⅱ)当 EC ? 1时,求几何体 A ? EFD1D 的体积。
20 . 解 析 :( Ⅰ ) 在 直 四 棱 柱
ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 // CC1 , ∵ EF // CC1 , ∴ EF // DD1 ,
---------------------------------------2 分
又∵*面 ABCD // *面 A1B1C1D1, *面 ABCD *面 EFD1D ? ED , *面 A1B1C1D1 *面 EFD1D ? FD1, ∴ ED // FD1 ,∴四边形 EFD1D 为*行四边形,---------------------------------------4 分 ∵侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 DE ? *面 ABCD 内, ∴ DD1 ? DE ,∴四边形 EFD1D 为矩形; -----------------------------5 分 (Ⅱ)证明:连结 AE ,∵四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 为直四棱柱, ∴侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 AE ? *面 ABCD 内, ∴ DD1 ? AE , --------------------------------6 分 在 Rt?ABE 中, AB ? 2 , BE ? 2,则 AE ? 2 2 ; -----------------------------------7 分 在 Rt?CDE 中, EC ? 1, CD ? 1,则 DE ? 2 ; -------------------------------8 分 在直角梯形中 ABCD , AD ? BC2 ? (AB ? CD)2 ? 10 ; ∴ AE2 ? DE2 ? AD2 ,即 AE ? ED , 又∵ ED DD1 ? D ,∴ AE ? *面 EFD1D ; --------------------------10 分 由(Ⅰ)可知,四边形 EFD1D 为矩形,且 DE ? 2 , DD1 ? 1, ∴矩形 EFD1D 的面积为 SEFD1D ? DE ? DD1 ? 2 , ∴几何体 A ? EFD1D 的体积为

VA?EFD1D

?

1 3

SEFD1D

?

AE

?

1? 3

2?2

2 ? 4 .-----------------------------12 分 3

17.(2012 东城一模文科)(本小题共 14 分)

如图1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的

点,且满足 AE ? FC ? CP ?1.将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置,使*面 A1EF ?

*面 EFB ,连结 A1B , A1P .(如图 2 )

(Ⅰ)若 Q 为 A1B 中点,求证: PQ ∥*面 A1EF ;

(Ⅱ)求证: A1E ? EP .

A
A1
E

F

B

P

C

图1

QE
B
图2

F

P

C

证明:(Ⅰ)取 A1E 中点 M ,连结 QM , MF .

在△ A1BE 中, Q, M 分别为 A1B, A1E 的中点,

所以 QM ∥ BE ,且 QM ? 1 BE . 2
因为 CF ? CP ? 1 , FA PB 2

所以 PF ∥ BE ,且 PF ? 1 BE ,

2

B

所以 QM ∥ PF ,且 QM ? PF .

所以四边形 PQMF 为*行四边形.

A1 M Q E





PQ

FM .

…………5 分

又因为 FM ? *面 A1EF ,且 PQ ? *面 A1EF ,





PQ



*

A1EF .
(Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ?1, DE ?1,

…………7 分

F

P

C



A E

D

F

B

P

C

所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.

又因为 AE ? ED ?1, 所以 EF ? AD .

所以在图 2 中有 A1E ? EF .

…………9 分

因为*面 A1EF ? *面 EFB ,*面 A1EF *面 EFB ? EF ,





A1E



*



BEF .

又 EP ?*面 BEF , 所以 A1E ⊥ EP .

…………12 分 …………14 分

17. (2012 丰台一模文科)(本小题共 14 分)

如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA=PD,∠BAD=60?,E 是 AD 的中点,

点 Q 在侧棱 PC 上.

(Ⅰ)求证:AD⊥*面 PBE;

P

(Ⅱ)若 Q 是 PC 的中点,求证:PA // *面 BDQ;

Q

(Ⅲ)若

VP-BCDE

=2VQ

-

ABCD,试求

CP CQ

的值.

D

C

E

A

B

证明:(Ⅰ)因为 E 是 AD 的中点, PA=PD,





AD



PE.

……………………1 分

因为 底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60?,

P

所以 AB=BD,又因为 E 是 AD 的中点,

所以 AD⊥BE.

……………………2 分

Q

因为 PE∩BE=E,

……………………3 分

所以 AD⊥*面 PBE. ……………………4 分

D

C

(Ⅱ)连接 AC 交 BD 于点 O,连结 OQ.

E

……………………5 分

O

因为 O 是 AC 中点, Q 是 PC 的中点,

A

B

所以 OQ 为△PAC 中位线.





OQ

//

PA.

……………………7 分

因 为 PA ? * 面 BDQ , OQ ? * 面

BDQ.

……………………8 分





PA

//

*



BDQ.

……………………9 分

(Ⅲ)设四棱锥 P-BCDE,Q-ABCD 的高分别为 h1 , h2 ,





VP-BCDE=

1 3

SBCDE

h1



VQ-ABCD=

1 3

SABCD

h2



……………………10 分

因为

VP-BCDE

=2VQ

-

ABCD , 且 底 面 积

SBCDE=

3 4

SABCD.

……………………12 分





h1 ? 8 , h2 3

……………………13 分





h1 ? CP



h2 CQ





CP ? 8 . CQ 3

……………………14 分

17 .(2012 石景山一模文科)(本小题满分 13 分)
如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 DD1 的中点.

(Ⅰ)证明:*面 ADC1B1 ? *面 A1BE ;

A1

D1

(Ⅱ)在棱 C1D1 上是否存在一点 F ,

B1

C1

E

使 B1F //*面 A1BE ?证明你的结论.
解: (Ⅰ)证明:
因为多面体 ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,

所以

B1C1

?

面ABB 1

A1



A B
A1
B1

D

C

D1

F

C1

E

A

D

因为

A1B

?

面ABB 1

A1

,所以

B1C1

?

A1B



B

…………C2 分

又因为 A1B ? AB1 , B1C1 ? AB1 ? B1 ,所以 A1B ? 面ADC1B1 .…………4 分

因为 A1B ? 面A1BE ,所以*面 ADC1B1 ? *面 A1BE .

…………6 分

(Ⅱ)当点 F 为 C1D1 中点时,可使 B1F //*面 A1BE .
以下证明之:

易知:

EF

//

1 2

C1D

,且 EF

=

1 2

C1D



…………7 分 …………9 分



AB1

?

A1B

?

O

,则

B1O

//

1 2

C1D



B1O

=

1 2

C1D

,

所以 EF // B1O 且 EF =B1O ,

所以四边形 B1OEF 为*行四边形. 所以 B1F // OE .

…………11 分

又因为 B1F ? 面A1BE , OE ? 面A1BE .
所以 B1F //面 A1BE
17. (2012 高考仿真文科)(本小题满分 13 分)
已知三棱锥 P-ABC 中, PA ? *面 ABC, AB ? AC, PA ? AC ? 1 AB ,N 为 AB
2
上一点,AB= 4AN, M ,D ,S 分别为 PB,AB, BC 的中点。 (1)求证: PA//*面 CDM;
(2)求证: SN ? *面 CDM.

…………13 分
P

_M

_A

_C

_N _D
_S

(1)证明:在三棱锥 P ? ABC 中

B

因为 M,D,分别为 PB,AB 的中点,

所以 MD // PA

因为 MD ? *面CMD, PA ? *面CMD

所以 PA // *面CMD

……………………………………………….5

分 (2)证明:因为 M,D,分别为 PB,AB 的中点
所以 MD // PA

因为 PA ? *面ABC

所以 MD ? *面ABC

又 SN ? *面ABC





MD ? SN

……………………………………………………9 分

在△ABC 中,连接 DS

_P

因为 D,S 分别为 AB,BC 的中点

所以, DS ∥AC 且 DS ? 1 AC 2

又 AB⊥AC,所以, ?ADS ? 900 .

_M _A _C
_N
_D _S

_B

因为 AC ? 1 AB 2
所以 AC=AD

所以, ?ADC ? 450 ,因此 ?CDS ? 450 .

又 AB=4AN

所以 DN ? 1 AD ? 1 AC

2

2

即 DN=DS,故 SN ? CD

……………………………………………………12



又 MD ? CD ? D





SN ? *面C M D ………… ………………………. ……………………….13 分

17. (2012 朝阳一模文科)(本题满分 13 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为*行四边形, ?ABD = 90? , EB ? *面

ABCD , EF//AB, AB= 2 , EF =1, BC = 13 ,且 M 是 BD 的中点.

(Ⅰ)求证: EM// *面 ADF ;

F

E

(Ⅱ)在 EB 上是否存在一点 P ,使得 ?CPD 最大?

若存在,请求出 ?CPD 的正切值;若不存在, 请说明理由.

D

C

M

(Ⅰ)证明:取 AD 的中点 N ,连接 MN, NF .

A

B

在 ?DAB 中, M 是 BD 的中点, N 是 AD 的中点,

所以 MN//AB,MN = 1 AB . 2
又因为 EF//AB,EF = 1 AB , 2

……………2 分

F

E

所以 MN//EF 且 MN = EF .

D

C

所以四边形 MNFE 为*行四边形,

N

M

所以 EM//FN .

A

B ………………4 分

又因为 FN ? *面 ADF , EM ? *面 ADF ,

故 EM// *面 ADF .

……………………6 分

(Ⅱ)解:假设在 EB 上存在一点 P ,使得 ?CPD 最大.

因为 EB ? *面 ABD ,所以 EB ? CD .

又因为 CD ? BD ,所以 CD ? *面 EBD .

………………………8 分

在 Rt?CPD 中, tan?CPD = CD . DP

因为 CD 为定值,且 ?CPD 为锐角,则要使 ?CPD 最大,只要 DP 最小即可.

显然,当 DP ? EB 时, DP 最小.

因为 DB ? EB ,所以当点 P 在点 B 处时,使得 ?CPD 最大. …………11 分 易得 tan?CPD = CD = 2 .
DB 3

2 所以 ?CPD 的正切值为 3 .

……………………13 分

17.(2012 东城示范校二模文)(本小题满分 14 分)
如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为 A1 DD1 , DB 的中点.
(Ⅰ)求证: EF //*面 ABC1D1 ;
(Ⅱ)求证: EF ? B1C ;
A
(Ⅲ)求三棱锥VB1?EFC 的体积. 证明:(Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

D1

C1

B1 E

D

C

F B

D1B

EF // D1B ? *面ABC1D1

? ? ?

?

EF

//

*面ABC1D1

EF ? *面ABC1D1 ??

A1

---------------------------4 分

B1C ? AB

?

(Ⅱ)

AB,

B1C B1C ?

? BC1 *面ABC1D1

?? ? ?

?

A

AB BC1 ? B ??

B1C BD1

? ?

*面ABC1D1 *面ABC1D1

? ? ?

?

B1C EF

? BD1 // BD1

? ? ?

?

EF

?

B1C

-------------------------------9 分

(Ⅲ) CF ? *面BDD1B1

?CF ? *面EFB1

-------------------------------10 分

D1

C1

B1 E

D

C

F B

且 C F? B F? 2

1 EF ? 2 BD1 ?

3 , B1F ?

BF 2 ? BB12 ?

( 2)2 ? 22 ?

6

B1E ? B1D12 ? D1E2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3

∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2

即 ?EFB1 ? 90

-----------------------------12 分

1

11

?VB1?EFC ? VC?B1EF ? 3 ? S?B1EF ? CF = 3 ? 2 ? EF ? B1F ? CF

=1?1? 3? 6? 2 ?1 32

-------------------------14 分

17. (2012 房山一模文科)(本小题共 14 分)

在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,BC ? CC1 , AB ? BC .点 M , N 分别是 CC1 ,B1C 的

中点, G 是棱 AB 上的动点.

(Ⅰ)求证: B1C ? *面 BNG ;

(Ⅱ)若 CG //*面 AB1M ,试确定 G
点的位置,并给出证明.

(I) 证明:∵在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CC1 ,点 N 是 B1C 的中点,

∴ BN ? B1C …………………………1 分

AB ? BC , AB ? BB1, BB1 ? BC ? B

∴ AB ⊥*面 B1BCC1 ………………………3 分

B1C ? *面 B1BCC1

∴ B1C ? AB ,即 B1C ? GB …………………5 分 又 BN ? BG ? B

∴ B1C ? *面 BNG

…………………………………6 分

(II)当 G 是棱 AB 的中点时, CG //*面 AB1M .……………………………7 分
证明如下:
连结 AB1 ,取 AB1 的中点 H,连接 HG, HM ,GC ,

则 HG 为 ?AB1B 的中位线

∴ GH



BB1, GH

?

1 2

BB1 …………………8



∵由已知条件, B1BCC1 为正方形

∴ CC1∥ BB1 , CC1 ? BB1

∵ M 为 CC1的中点,

∴ CM

?

1 2

CC1

…………………………………11



∴ MC ∥ GH ,且 MC ? GH

∴四边形 HGCM 为*行四边形

∴ GC ∥ HM …………………………………12 分

又∵ GC ? *面AB1M,,H ? *面AB1M

∴ CG //*面 AB1M ………………………………………14 分
17.(2012 海淀一模文科)(本小题满分 14 分)

已知菱形 ABCD 中,AB=4, ?BAD ? 60 (如图 1 所示),将菱形 ABCD 沿对角线 BD

翻折,使点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示),点 E,F,M 分别是 AB,DC1,BC1 的中点.

(Ⅰ)证明:BD //*面 EMF ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD ;

D

C

(Ⅲ)当 EF ? AB 时,求线段 AC1 的长.

C1
F M
D

A
证明:(Ⅰ)因为点 F, M 分别是 C1D,C1B 的中点,

B
图1

A

E

B

图2

所以 FM / /BD .

………………………………………2 分

又 FM ? *面 EMF , BD ? *面 EMF ,

所以 BD / / *面 EMF .

………………………………………4 分

(Ⅱ)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC, BD 的交点,

则 AC ? BD .

………………………………………5 分

所以 在三棱锥 C1 - ABD 中,

C1

C1O ? BD, AO ? BD . 又 C1O AO ? O,

F M

D

O

A

E

B

所以 BD ?*面 AOC1 . 又 AC1 ? *面 AOC1 ,

………………………………………7 分

所以 BD ? AC1 .

………………………………………9 分

(Ⅲ)连结 DE,C1E .在菱形 ABCD 中, DA ? AB, ?BAD ? 60 ,

所以 ?ABD 是等边三角形.

所以 DA ? DB .

………………………………………10 分

因为 E 为 AB 中点,所以 DE ? AB .

又 EF ? AB , EF DE ? E .

C1

所以 AB ? *面 DEF ,即 AB ? *面 DEC1 .

………………………………………12 分

又 C1E ? *面 DEC1 ,

A

F M

D

E

B

所以 AB ? C1E .

因为 AE = EB, AB = 4 , BC1 = AB ,

所以 AC1 ? BC1 ? 4 .

………………………………………14 分

17. (2012 门头沟一模文科)(本小题满分 13 分)

P

已知边长为 2 的正方形 ABCD 所在*面外有一点 P, PA ? *

面 ABCD,且 PA ? 2 ,E 是 PC 上的一点.

E

(I)求证:AB//*面 PCD;

(II)求证:*面 BDE ? *面 PAC ;
(III)线段 PE 为多长时, PC ? *面 BDE ?
解:(I)证明:正方形 ABCD 中, AB// DC ,又 AB ? *面 PCD, DC ?*面 PCD
所以 AB//*面 PCD ……3 分 (II)证明:正方形 ABCD 中, AC ? BD,
? PA ? *面 ABCD, BD ? *面 ABCD,? PA ? BD , 又 PA? AC ? A ,所以 BD ? *面 PAC ,

A B
……5 分 ……6 分

D C

? BD ? *面 BDE ,? *面 BDE ? *面 PAC

……8 分

(III)由(II)可知 BD ? PC ,所以只需 BE ? PC 可证 PC ? *面 BDE ,

在 Rt?PBC 中,可求 BC ? 2 , PB ? 2 2 , PC ? 2 3 ,

PE ? PB2 ? 4 3 PC 3
17.(2012 密云一模文科)(本小题满分 14 分)

……13 分

如 图 , 在 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 点 E 在 棱 CC1 的 延 长 线 上 , 且

CC1

?

C1E

?

BC

?

1 2

AB

? 1.

(Ⅰ) 求证: D1E //*面 ACB1 ;

(Ⅱ) 求证:*面 D1B1E ? *面 DCB1 ;

(Ⅲ)求四面体 D1B1 AC 的体积.

17.解:(Ⅰ)证明:连 AD1

D1 A1
D A

E
C1 B1
C B

? AD1 //BC1 //B1E

?四边形 AB1ED1 是*行四边形

………2 分

则 D1E // AB1

又 AB1 ? *面 AB1C , D1E ? *面 AB1C

E

? D1E //*面 ACB1 (Ⅱ) 由已知得 B1C 2 ? B1E 2 ? 4 ? CE 2 则 B1E ? B1C 由长方体的特征可知: CD ? *面 B1BCE

………5 分

D1

A1

D ………6 分
A

C1 B1
C B

而 B1E ? *面 B1BCE , 则 CD ? B1E

………9 分

? B1E ? *面 DCB1 又 B1E ? *面 D1B1E

?*面 D1B1E ? *面 DCB1

………10 分

(Ⅲ)四面体 D1B1AC 的体积

? V ? V ? V ? V ? V ABCD?A1B1C1D11

A? A1B1D1

B ? ACB1

C ?B1C1D1

D? ACD1

? 2 ? 1 ?1? 1 ?1? 2? 4 ? 2

32

3

………14 分

16. (2012 师大附文科)如图,四棱锥 P ? ABCD的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PA ?

底面 ABCD,且 PA ? 2, E 是侧棱 PA上的动点。

(1)求四棱锥 P ? ABCD的体积; (2)如果 E 是 PA的中点,求证 PC // *面 BDE ; (3)是否不论点 E 在侧棱 PA的任何位置,都有 BD ? CE ?证明你的结论。

解:(1)∵ PA ? *面 ABCD,

∴VP? ABCD

?

1 3

S 正方形ABCD

? PA ?

1 ?12 3

?2

?

2 3

即四棱锥 P ? ABCD的体积为 2 。 3

(2)连结 AC 交 BD于 O ,连结 OE 。 ∵四边形 ABCD是正方形,∴ O 是 AC 的中点。 又∵ E 是 PA的中点,∴ PC // OE 。 ∵ PC ? *面 BDE, OE ? *面 BDE ∴ PC // *面 BDE。 (3)不论点 E 在何位置,都有 BD ? CE 。 证明如下:∵四边形 ABCD是正方形,∴ BD ? AC 。 ∵ PA ? 底面 ABCD,且 BD ? *面 ABCD,∴ BD ? PA。 又∵ AC ? PA ? A ,∴ BD ?*面 PAC 。

∵不论点 E 在何位置,都有 CE ? *面 PAC 。 ∴不论点 E 在何位置,都有 BD ? CE 。
17.(2012 西城一模文科)(本小题满分 14 分)
如图,矩形 ABCD中, AB ? 3, BC ? 4. E , F 分别在线段 BC 和 AD上, EF ∥ AB ,将矩形 ABEF沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且*面 MNEF? *面 ECDF.
(Ⅰ)求证: NC ∥*面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3,求证: ND ? FC; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

A

F

D

(Ⅰ)证

B
为四边形

E

明:因
C

MNEF, EFDC 都是矩形,

所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD .

所以 四边形 MNCD 是*行四边形,……………2 分

所以 NC ∥ MD ,

………………3 分

因为 NC ? *面 MFD ,

所以 NC ∥*面 MFD .

………………4 分

(Ⅱ)证明:连接 ED,设 ED FC ? O .

因为*面 MNEF ? *面 ECDF ,且 NE ? EF ,

所以 NE ? *面 ECDF ,

………………

5分

所以 FC ? NE .

………………

6分

又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED . ………………

7分

所以 FC ? *面 NED ,

………………

8分

所以 ND ? FC.

9分

(Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4.

由(Ⅰ)得 NE ? *面 FEC ,

所以四面体

NFEC 的体积为VNFEC

?

1 3

S?EFC

? NE

?

1 2

x(4 ?

x)



11 分

所以

VNFEC

? 1 [ x ? (4 ? x)]2 22

? 2.

13 分

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.

14 分

………………
……………… ……………… ………………




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